Geom Alg - P1 - Pregunta 6

\( \newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \DeclareMathOperator{\id}{id} \)

Sea \(Y\) una variedad afín de dimensión \(r\) en \(\A^n\). Sea \(H\) una hiperficie de \(\A^n\) tal que \(H\) no contiene a \(Y\). Probar que cada componente irreducible de \(Y\cap H\) tiene dimensión \(r-1\)

Geom Alg - P1- Pregunta 5

\( \newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \DeclareMathOperator{\id}{id} \)

Sea \(Y=\{(t,t^2,t^3)|t\in \K\}\). Probar que \(Y\) es una variedad algebraica afín de dimensión 1. Hallar \(I(Y)\). Deducir que \(A(Y)\) es isomorfo al anillo de polinomios de una variable sobre \(\K\).

Geom Alg - P1 - Pregunta 4

\( \newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \DeclareMathOperator{\id}{id} \)

Sea \(f\) un polinomio cuadrático irreducible en \(\K[x,y]\). Sea \(W\) la conica definida por \(f\). Probar que \(A(W)\) es isomorfo al anillo \(A(Y)\) o \(A(Z)\). Cuando ocurre cada caso?

Geom Alg - P1 - Pregunta 3

\( \newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \)

Sea \(Z\) la curva plana \(xy=1\). Probar que \(A(Z)\) no es isomorfo al anillo de polinomios de una sola variable sobre \(\K\).

Geom Alg - P1 - Pregunta 2

\( \newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \)

Sea \(Y\) la curva plana \(y=x^2\). Probar que \(A(Y)\) es isomorfo al anillo de polinomios de una variable sobre el cuerpo \(\K\).

Pregunta 10

\( \newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\diam}[1]{\text{diam}(#1)} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \)

Sea \(K\sst \Rm\) compacto, \(U\sst \Rn\) abierto y \(f:K\rightarrow U\) continua. Demostrar que existe \(\delta>0\) tal que la imagen \(f(T)\) de cualquier \(T\sst K\) con \(\diam{T} < \delta\) está contenida en alguna bola \(B\sst U\).